A geometria dos egípcios

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos.

De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.
Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes , tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, avidam daí conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.
Acredita-se em geral que a origem da geometria se situa no Egito, o que é natural, pois, para a construção das pirâmides e outros monumentos desta civilização, seriam necessários conhecimentos geométricos.

Lilavati

Lilavati

Muitos séculos antes de Cristo já se sabia resolver certos tipos de equações do 2° grau. Entretanto, a fórmula resolutiva de uma equação do 2° grau só surgiu no século XII e é atribuída ao mais importante matemático desse século, o hindu Bhaskara. Sua obra mais conhecida chama-se Lilavati.

Lilavati? Mas que título estranho...

Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. Mas por que um matemático iria colocar na sua obra mais importante o nome de sua filha? Eu vou lhes contar....

Bhaskara Akaria era fanático por astrologia. Acreditava plenamente nas predições asatrológicas. Os astrólogos previram que lilavati só poderia se casar em determinada hora de determinado dia. O dia chegou e a jovem, muito ansiosa, observavao relógio de água, colocando numa vasilhacom água e que deveria marcar a hora mais propícia para o casamento.

O relógio de água tem no fundo um orifício por onde penetra a água. Quando todo o relógio estivesse submerso, chegaria o momento de se casar.

Acontece que, ao se debruçar sobre o relógio, Lilavati não se dera conta de que uma pequena pérola de seu vestido havia se desprendido e tapado o orifício do relógio, impedindo a entrada da água. Com isso o relógio não afundou.

Mais tarde, o incidente foi descoberto, mas a hora propícia para o casamento havia se passado, e o noivo, com medo de maus presságios, havia fugido. Lilavati não se casou. O pai, para consolá-la, prometeu perpetuar o seu nome, dando a um de seus livros o título: Lilavati.

Essa é a história do nome desse livro. Verdadeira ou não, foi assim que me contaram.

EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

a) 2 x² + 7x + 5 = 0

b) 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

a) 4 x² + 6x = 0

b) 3 x² + 9 = 0

c) 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais

a) 4x²=0 tem duas raízes nulas.

b) 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

c) 4x²+5=0 não tem raízes reais.

d) 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Teorema de Pitágoras

Curiosidades - Teorema de Pitágoras

Olá pessoal!
O vídeo: Curiosidades - Teorema de Pitágoras foi elaborado por uma aluna do curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática -UFF em 2009.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Origem do símbolo da raiz quadrada

Em nossa língua a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número.

Para isso, temos que voltar um pouco na história da matemática, para entender como surgiu a raiz quadrada de um número.

Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco ou livro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais conhecido comoFibonacci, traz da seguinte maneira, o que hoje chamamos de raiz quadrada: "radix quadratum 16 aequalis 4",
escrito em latim, que traduzindo para o português, é: "O lado do Quadrada de 16 é igual a 4". Podemos perceber que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a tradução correta de Radix é Lado.

Fibonacci, trouxe essa importante informação para a Europa, graças aos estudos de obras árabes que tinha conhecido quando estava trabalhando com o seu pai no norte da Africa, como comerciante.

Agora, a origem do símbolo √ está associado ao abreviamento da palavra radix, que com o passar do tempo, foram se fazendo cópias em cima de cópias, o que acabou resultando no símbolo que usamos hoje em dia, um alongamento ou variância da letra r.