Ângulos notáveis

Trigonometria

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.


Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.

Razões trigonométricas

Os egípcios e as frações

A civilização egípcia desenvolveu-se às margens do Rio Nilo, região onde as terras eram muito férteis e, por isso, de grande importância para a vida de seus habitantes. Quando o rio inundava, os marcos que dividiam as terras.
O faraó, então, contratava medidores de terreno - os estiradores de corda - para fazer novas demarcações. Nessa tarefa, eram usadas cordas estendidas. Pode-se imaginar que nem sempre a medida resultava em um número inteiro de cordas, como "12 cordas e um pedaço", por exemplo.
Para definir exatamente o tamanho do "pedaço", foi preciso criar frações.


De fato, o estudo de frações surgiu no Egito às margens do rio Nilo, pela necessidade de se realizar a marcação das terras que se encontravam a margem do mesmo. No período de junho a setembro, o rio inundava essas terras, levando parte da marcação. Logo, os proprietários destas terras tinham que remarcá-las. A marcação destas terras era realizada pelos geômetras dos faraós, que utilizavam cordas como unidade de medida, denominados estiradores de cordas.
A marcação era realizada da seguinte maneira: esticava-se as cordas e assim se observava quantas vezes aquela unidade de medida estava contida no terreno. Como a medida dos terrenos, na sua maioria, não era dada exatamente por números inteiros, surgia então a necessidade de um novo conceito de número, o número fracionário.
Os egípcios usavam frações unitárias, ou seja, com o numerador um dividido por um número inteiro, como por exemplo: ½, 1/3, ¼,... Eram denominadas frações egípcias.
As frações unitárias eram representadas por inscrições hieroglíficas, como exemplo a fração 1/8 era representada da seguinte maneira .Todas as frações tinham este sinal oval na parte superior, e o outro número com sua respectiva representação, como 1/20 que era representado por
Encontramos em alguns registros, a substituição do sinal oval por um ponto, colocado sobre uma cifra, como no Papiro de Ahmes, a fração 1/8 é representada como e 1/20 como .
Os egípcios utilizavam muitas frações, mas a fração 2/3 era considerada a fração geral representada pelo sinal hierático , utilizada como base para as operações fracionárias, não como uma regra elementar, mas sim como parte de um processo, que sem o uso da mesma seria incompleto. Então para se obter um terço de um número, os egípcios primeiramente encontravam os dois terços, para em seguida, calcular a metade do valor obtido. (BOYER, 1979).
O mais antigo e extenso papiro é chamado Papyrus Rhind, que foi encontrado num quarto de uma arruinada construção junto ao Ramasseum. Ele que tem como conteúdo principal, questões relativas a equivalências de frações, as operações com números fracionários, as proporções, as regras de três, a regra de falsa posição, a decomposição em partes proporcionais aritméticas ou problemas geométricos.
Um outro Papiro, que também aborda aspectos das frações, é o Papyro de Kalum , dentre eles estão:
a) Transformações 2/3, 2/5, 2/7, 2/9,... 2/31 em soma de unidade fracionária, isto é, fração cujos denominadores são a unidade.
b) Produto da soma 1/3 + 1/12 por 9
c) A razão 110:8 é igual a 13 – 2/3 – 1/12 e as suas sucessivas do quociente anterior pela soma 2/3 + 1/6.

A geometria dos egípcios

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos.

De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.
Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes , tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, avidam daí conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.
Acredita-se em geral que a origem da geometria se situa no Egito, o que é natural, pois, para a construção das pirâmides e outros monumentos desta civilização, seriam necessários conhecimentos geométricos.

Lilavati

Lilavati

Muitos séculos antes de Cristo já se sabia resolver certos tipos de equações do 2° grau. Entretanto, a fórmula resolutiva de uma equação do 2° grau só surgiu no século XII e é atribuída ao mais importante matemático desse século, o hindu Bhaskara. Sua obra mais conhecida chama-se Lilavati.

Lilavati? Mas que título estranho...

Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. Mas por que um matemático iria colocar na sua obra mais importante o nome de sua filha? Eu vou lhes contar....

Bhaskara Akaria era fanático por astrologia. Acreditava plenamente nas predições asatrológicas. Os astrólogos previram que lilavati só poderia se casar em determinada hora de determinado dia. O dia chegou e a jovem, muito ansiosa, observavao relógio de água, colocando numa vasilhacom água e que deveria marcar a hora mais propícia para o casamento.

O relógio de água tem no fundo um orifício por onde penetra a água. Quando todo o relógio estivesse submerso, chegaria o momento de se casar.

Acontece que, ao se debruçar sobre o relógio, Lilavati não se dera conta de que uma pequena pérola de seu vestido havia se desprendido e tapado o orifício do relógio, impedindo a entrada da água. Com isso o relógio não afundou.

Mais tarde, o incidente foi descoberto, mas a hora propícia para o casamento havia se passado, e o noivo, com medo de maus presságios, havia fugido. Lilavati não se casou. O pai, para consolá-la, prometeu perpetuar o seu nome, dando a um de seus livros o título: Lilavati.

Essa é a história do nome desse livro. Verdadeira ou não, foi assim que me contaram.

EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

a) 2 x² + 7x + 5 = 0

b) 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

a) 4 x² + 6x = 0

b) 3 x² + 9 = 0

c) 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais

a) 4x²=0 tem duas raízes nulas.

b) 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

c) 4x²+5=0 não tem raízes reais.

d) 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Teorema de Pitágoras

Curiosidades - Teorema de Pitágoras

Olá pessoal!
O vídeo: Curiosidades - Teorema de Pitágoras foi elaborado por uma aluna do curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática -UFF em 2009.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Origem do símbolo da raiz quadrada

Em nossa língua a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número.

Para isso, temos que voltar um pouco na história da matemática, para entender como surgiu a raiz quadrada de um número.

Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco ou livro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais conhecido comoFibonacci, traz da seguinte maneira, o que hoje chamamos de raiz quadrada: "radix quadratum 16 aequalis 4",
escrito em latim, que traduzindo para o português, é: "O lado do Quadrada de 16 é igual a 4". Podemos perceber que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a tradução correta de Radix é Lado.

Fibonacci, trouxe essa importante informação para a Europa, graças aos estudos de obras árabes que tinha conhecido quando estava trabalhando com o seu pai no norte da Africa, como comerciante.

Agora, a origem do símbolo √ está associado ao abreviamento da palavra radix, que com o passar do tempo, foram se fazendo cópias em cima de cópias, o que acabou resultando no símbolo que usamos hoje em dia, um alongamento ou variância da letra r.